# スッキリわかる！二次方程式の解の公式の導出

## 二次方程式の解の公式を導出してみよう！

二次方程式を解くときに非常に便利な「解の公式」。多くの人が一度は暗記したことがあると思いますが、なぜあの形になるのか、考えたことはあるでしょうか？

この記事では、二次方程式の解の公式を「平方完成」という手法を使って、ステップバイステップで導き出していきます。この記事を読み終わるころには、解の公式がもっと身近に感じられるはずです。

## そもそも二次方程式とは？

まずはおさらいです。
二次方程式とは、変数の最も高い次数が2である方程式のことで、一般的に次の形で表されます。

$$
ax^2 + bx + c = 0
$$

ただし、$a$、$b$、$c$ は定数（数字）で、$a \neq 0$ というルールがあります。
この式を満たす $x$ の値を見つけることが「二次方程式を解く」ということです。

そして、この方程式の解を求めるための万能な公式が、この公式です。

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$

それでは、この公式を導き出していきましょう。

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## 解の公式の導出：平方完成マスターへの道

ここからが本番です。$ax^2 + bx + c = 0$ という式を、ゴールである解の公式の形まで変形させていきます。使う道具は「**平方完成**」というテクニックです。

「平方完成」とは、「二乗の形を作る」ことを意味します。高校数学で初出する言葉ですが、考え方は中学数学の範囲内です。

(高校入試において、「解の公式の導出」そのものが出題されたこともあるそうです)

### Step 1: 下準備（定数項の移項と $x^2$ の係数を1にする）

まずは、式を扱いやすくするために少し整理します。

1. 定数項 $c$ を右辺に移動させます（移項）。

$$
ax^2 + bx = -c
$$

1. 次に、$x^2$ の係数 $a$ で両辺を割ります。これで $x^2$ の係数が $1$ になり、平方完成しやすくなります。

$$
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
$$

### Step 2: 平方完成で式を変形する

ここが重要なポイントです。左辺を $(x + \text{何か})^2$ という形（平方）に変形します。

1. そのために、両辺に「$x$** の係数の半分の2乗**」を加えます。
$x$ の係数は $\frac{b}{a}$ なので、その半分は $\frac{b}{2a}$、さらにその2乗は $(\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ となります。これを両辺に加えます。

$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$

1. これにより、左辺を因数分解して、すっきりした形にできます。

$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
$$

1. 右辺も計算を進めるために、分母を $4a^2$ にそろえます（通分）。

$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2}
$$

$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$

これで、ゴールに大きく近づきました。

### Step 3: あと一息！$x$ について解く

平方の形ができたので、あとは $x =$ の形にするだけです。

1. 左辺の2乗を外すために、両辺の平方根をとります。「±」（プラスマイナス）を付け忘れないように注意してください。

$$
x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}
$$

1. 右辺のルートの中身は、分母と分子に分けることができます。$\sqrt{4a^2}$ は $2a$ になるので、このようになります。

$$
x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

1. 最後に、左辺の $\frac{b}{2a}$ を右辺に移項すれば、完成です。

$$
x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

1. 分母が同じ $2a$ なので、一つの分数にまとめることができます。

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

ついに、解の公式が導き出されました。

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## まとめ

今回は、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ を「平方完成」することで、解の公式を導きました。
一つ一つの式変形は、中学校で習う基本的な計算の組み合わせです。

**解の公式の導出ステップ**

1. 定数項を移項し、両辺を $a$ で割る
1. 両辺に $(\frac{b}{2a})^2$ を加えて平方完成する
1. 平方根をとり、$x$ について解く
この流れを理解しておけば、公式を忘れてしまっても自分で作り出せるようになります。

解の公式は、単なる暗記項目ではなく、論理的なステップの積み重ねで生まれる美しい数式なのです。

以下の記事では、二次方程式の「3つの解き方」の解説も行っています！

「3つ」と聞いてピンとこない方は、ぜひご覧ください。

> [二次方程式 3つの解き方をマスターしよう【中学数学】](https://log2.app/users/ymsy_dev/articles/e686cc11-3aa8-57d2-addd-e032464c8580)