等比級数と微分を用いた重み付き級数の和の計算

高校生・大学受験生数学数学III極限微分法理系統計学資格取得IT統計検定

作成者: ymsy

作成日: 2025/9/22

更新日: 2025/9/23

導入次の無限和を求めたい。各項にが掛かっているため、通常の等比級数の公式では直接処理できない。このとき有効なのが「等比級数を変数で微分する」という方法である。 --- 補足:「閉じた形」とは閉じた形（closed form）とは、無限和や極限を残さず、有限な既知の関数で表した式を指す。例えばは閉じた形である。 --- ステップ1: 基本となる等比級数基本の等比級数はである。ここから導かれる和はの項が消えるため、実質的にはから始めても同じになる。したがって、以降は表記を整理してとして扱う。 --- ステップ2: 微分によって目的の和を得るに関して微分するととなり、求めたいが現れる。指数が前に出る規則は、例えばの「2」が一般の指数に置き換わったものと考えればよい。 --- ステップ3: 閉じた形の導出すでにが閉じた形で分かっているので、その導関数を計算すればよい。 --- ステップ4: 有限和からの確認（商の微分を省略せず記す）無限和を直接微分することに不安があれば、有限和から始める。は多項式（右辺は有理関数）なので微分可能である。ここで、左辺からの微分と右辺からの微分をそれぞれ計算し、一致を確認する。左辺（項別微分：多項式ゆえ正当）ここで行っている「各項をで微分して和を取る」手続きを項別微分と呼ぶ。有限和なら常に正当化され、無限和でも一様収束などの条件下で正当化できる。右辺（商の微分）商の微分公式を用いる。まずしたがって分子を展開・整理するとよって一致の確認と極限以上よりここでとすれば、の範囲でなのでこの流れにより、無限和の式が厳密に正当化される。 --- ステップ5: 別解 ― 「ずらして引く」方法微分を使わずに処理することもできる。次を考える。ここで添字をずらして右辺第2項を変形するとしたがってここで等比級数の公式を使うとよってが得られる。 --- まとめ微分は添字に対してではなく、変数に対して行っている。和を取った結果はの関数であり、は連続的に変化できるため微分が可能である。第0項は常に 0 なので、以降は一貫してで表記する。有限和では各項をで微分できる（これを項別微分と呼ぶ）。無限和についても収束範囲内なら項別微分が正当化される。微分を使う方法でも、ずらして引く方法でも同じ結論に到達する。

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等比級数と微分を用いた重み付き級数の和の計算

高校生・大学受験生数学数学III 極限微分法理系統計学資格取得 IT 統計検定

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導入

次の無限和を求めたい。

S (q) = k = 1 \sum \infty k q^{k - 1}, ∣ q ∣ < 1

各項に $k$ が掛かっているため、通常の等比級数の公式では直接処理できない。
このとき有効なのが「等比級数を変数 $q$ で微分する」という方法である。

---

補足:「閉じた形」とは

閉じた形（closed form） とは、無限和や極限を残さず、有限な既知の関数で表した式を指す。
例えば

k = 0 \sum \infty q^{k} = \frac{1}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

は閉じた形である。

---

ステップ1: 基本となる等比級数

基本の等比級数は

G (q) = k = 0 \sum \infty q^{k} = \frac{1}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

である。
ここから導かれる和は $k = 0$ の項が消えるため、実質的には $k = 1$ から始めても同じになる。
したがって、以降は表記を整理して

k = 1 \sum \infty k q^{k - 1}

として扱う。

---

ステップ2: 微分によって目的の和を得る

$q$ に関して微分すると

G^{'} (q) = k = 1 \sum \infty k q^{k - 1}

となり、求めたい $S (q)$ が現れる。
指数が前に出る規則は、例えば $y = x^{2} ⟹ y^{'} = 2 x$ の「2」が一般の指数 $k$ に置き換わったものと考えればよい。

---

ステップ3: 閉じた形の導出

すでに $G (q) = \frac{1}{1 - q}$ が閉じた形で分かっているので、その導関数を計算すればよい。

S (q) = G^{'} (q) = \frac{d}{d q} (\frac{1}{1 - q}) = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}

---

ステップ4: 有限和からの確認（商の微分を省略せず記す）

無限和を直接微分することに不安があれば、有限和から始める。

G_{N} (q) = k = 0 \sum N q^{k} = \frac{1 - q ^{N + 1}}{1 - q}

は多項式（右辺は有理関数）なので微分可能である。ここで、左辺からの微分と右辺からの微分をそれぞれ計算し、一致を確認する。

左辺（項別微分：多項式ゆえ正当）

\frac{d}{d q} G_{N} (q) = \frac{d}{d q} (k = 0 \sum N q^{k}) = k = 0 \sum N \frac{d}{d q} (q^{k}) = k = 1 \sum N k q^{k - 1} .

ここで行っている「各項を $q$ で微分して和を取る」手続きを 項別微分 と呼ぶ。有限和なら常に正当化され、無限和でも一様収束などの条件下で正当化できる。

右辺（商の微分）

G_{N} (q) = \frac{u ( q )}{v ( q )}, u (q) = 1 - q^{N + 1}, v (q) = 1 - q .

商の微分公式 $(u / v)^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ を用いる。
まず

u^{'} (q) = - (N + 1) q^{N}, v^{'} (q) = - 1.

したがって

\frac{d}{d q} G_{N} (q) = \frac{u ^{'} ( q ) v ( q ) - u ( q ) v ^{'} ( q )}{v ( q ) ^{2}} = \frac{[ - ( N + 1 ) q ^{N} ] ( 1 - q ) - ( 1 - q ^{N + 1} ) ( - 1 )}{( 1 - q ) ^{2}} .

分子を展開・整理すると

- (N + 1) q^{N} (1 - q) + (1 - q^{N + 1}) = - (N + 1) q^{N} + (N + 1) q^{N + 1} + 1 - q^{N + 1} = 1 - (N + 1) q^{N} + N q^{N + 1} .

よって

\frac{d}{d q} G_{N} (q) = \frac{1 - ( N + 1 ) q ^{N} + N q ^{N + 1}}{( 1 - q ) ^{2}} .

一致の確認と極限

以上より

k = 1 \sum N k q^{k - 1} = \frac{1 - ( N + 1 ) q ^{N} + N q ^{N + 1}}{( 1 - q ) ^{2}} .

ここで $N \to \infty$ とすれば、 $∣ q ∣ < 1$ の範囲で $q^{N}, q^{N + 1} \to 0$ なので

N \to \infty lim k = 1 \sum N k q^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}} .

この流れにより、無限和の式が厳密に正当化される。

---

ステップ5: 別解 ― 「ずらして引く」方法

微分を使わずに処理することもできる。
次を考える。

T (q) = k = 1 \sum \infty k q^{k}

ここで添字をずらして

(1 - q) T (q) = k = 1 \sum \infty k q^{k} - k = 1 \sum \infty k q^{k + 1}

右辺第2項を変形すると

k = 1 \sum \infty k q^{k + 1} = k = 2 \sum \infty (k - 1) q^{k}

したがって

(1 - q) T (q) = q + k = 2 \sum \infty [k - (k - 1)] q^{k} = q + k = 2 \sum \infty q^{k}

ここで等比級数の公式を使うと

(1 - q) T (q) = q + \frac{q ^{2}}{1 - q} = \frac{q}{1 - q}

よって

T (q) = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}}, S (q) = \frac{T ( q )}{q} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}

が得られる。

---

まとめ

微分は添字 $k$ に対してではなく、変数 $q$ に対して行っている。
和を取った結果は $q$ の関数であり、 $q$ は連続的に変化できるため微分が可能である。
第0項は常に 0 なので、以降は一貫して $\sum_{k = 1}^{\infty}$ で表記する。
有限和では各項を $q$ で微分できる（これを項別微分と呼ぶ）。無限和についても収束範囲内なら項別微分が正当化される。
微分を使う方法でも、ずらして引く方法でも同じ結論に到達する。

結論として、

$k = 1 \sum \infty k q^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}, ∣ q ∣ < 1$

が成り立つ。

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等比級数と微分を用いた重み付き級数の和の計算

導入

補足:「閉じた形」とは

ステップ1: 基本となる等比級数

ステップ2: 微分によって目的の和を得る

ステップ3: 閉じた形の導出

ステップ4: 有限和からの確認（商の微分を省略せず記す）

左辺（項別微分：多項式ゆえ正当）

右辺（商の微分）

一致の確認と極限

ステップ5: 別解 ― 「ずらして引く」方法

まとめ

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