対象読者
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中学生〜高校生レベルで三平方の定理や平均・分散を学んだことがある人
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「分散と標準偏差の違いって何？」と疑問に思ったことがある人
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数学や統計を学ぶ上で、公式の丸暗記ではなく“なぜそうなるか”を知りたい人
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1. 三平方の定理を思い出す
三平方の定理は次の式で表される。
ここで は斜辺、 は直角に交わる二辺。
「長さそのもの」では足せないが、「二乗」にすれば足し算ができる。
これは、直角だからこそ交差項が消えるためである。
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2. 分散の定義
確率変数 の分散は
と定義される。
平均からのズレを二乗して、その平均を取ったもの。
標準偏差はその平方根。
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3. 分散の足し算の実際の式
二つの確率変数 の和の分散は次のように展開できる。
ここで は共分散。
もし が独立なら なので、
となる。
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4. 三平方の定理との対応
三平方の定理を内積で書き直すと
直角なら だから、
となる。
これはちょうど、分散の式から共分散が消える構図と同じである。
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5. 標準偏差ではなく分散を使う理由
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分散は「二乗」の形なので、足し算がきれいに成り立つ。
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標準偏差は平方根を取ってしまうため、上のような単純な式は得られない。
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理論や計算では「二乗の世界」での線形性が圧倒的に扱いやすい。
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6. 本質をさらに深く学びたいなら
ここまでの話では「内積の線形性」を当たり前のものとして使った。
もっと根本的に「なぜ二乗すると足せるのか」を掘り下げたいなら、次のテーマが関わってくる。
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内積空間
ベクトルの長さや角度を「内積」という仕組みで統一的に扱う考え方。
三平方の定理は、この内積の性質から自然に導かれる。 -
ヒルベルト空間
内積空間を無限次元まで拡張したもの。
フーリエ解析や量子力学などで基盤になり、有限次元のユークリッド空間もその一部として含まれる。つまり「分散がなぜ二乗で扱いやすいのか」を徹底的に抽象化すると、ヒルベルト空間という枠組みに行き着く。
これは大学の数学科や理論物理で学ぶ内容だが、背後には「三平方の定理と同じ構造が無限次元でも通用する」という普遍性がある。---
7. まとめ
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三平方の定理と分散の性質はどちらも「二乗すれば足し算ができる」という共通点を持つ。
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その理由は、内積の線形性によって交差項が整理されるから。
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標準偏差は直感的に便利だが、理論や計算の基盤では分散が優先される。
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さらに深く学ぶなら、内積空間やヒルベルト空間が「なぜ二乗が本質なのか」を説明してくれる。
分散が扱いやすい理由は、三平方の定理が二乗で足せる理由と同じであり、その背景は「内積がもつ線形性」にある。